Question

已知函数f（x）=x³-ax²+4．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x+1垂直，求实数a的值；
（2）在区间[1，3]内至少存在一个实数x，使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²-2ax，由导数的几何意义得f′（1）=3-2a=-1，由此能求出a=2．
（2）有已知得：a＞

x3+4

x2

=x+

4

x2

，设g（x）=x+

4

x2

，（1≤x≤3），g′（x）=1-

8

x3

，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-ax²+4，
∴f′（x）=3x²-2ax，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x+1垂直，
∴f′（1）=3-2a=-1，
解得a=2．
（2）由已知得：a＞

x3+4

x2

=x+

4

x2

，
设g（x）=x+

4

x2

，（1≤x≤3），
g′（x）=1-

8

x3

，
∵1≤x≤3，
∴x∈[1，2）时，g′（x）＜0，
x∈（2，3]时，g′（x）＞0，
∴g（x）_min=g（2）=3，
∴a＞3．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力，分类讨论等综合解题能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．