Question

18．设函数$f（x）=|\frac{x}{2}+\frac{1}{2a}|+|\frac{x}{2}-\frac{a}{2}|，（a＞0）$．
（Ⅰ）证明：f（x）≥1；
（Ⅱ）若f（6）＜5，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）根据绝对值不等式的性质化简消去x，再利用基本不等式得出结论；
（II）讨论a的范围，去绝对值符号解出a的范围．

解答 （I）证明：f（x）=|$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2a}$|+|$\frac{x}{2}$-$\frac{a}{2}$|≥|（$\frac{x}{2}+\frac{1}{2a}$）-（$\frac{x}{2}-\frac{a}{2}$）|=|$\frac{a}{2}+\frac{1}{2a}$|=$\frac{a}{2}+\frac{1}{2a}$≥2$\sqrt{\frac{a}{2}×\frac{1}{2a}}$=1．
∴f（x）≥1．
（II）解：∵f（x）＜5，即|3+$\frac{1}{2a}$|+|3-$\frac{a}{2}$|＜5，
∴$\frac{1}{2a}$+|3-$\frac{a}{2}$|-2＜0，
当0＜a＜6时，$\frac{1}{2a}$+3-$\frac{a}{2}$-2＜0，解得1+$\sqrt{2}$＜a＜6，
当a≥6时，$\frac{1}{2a}$+$\frac{a}{2}-3$-2＜0，解得6≤a＜5+2$\sqrt{6}$，
综上，a的取值范围是（1+$\sqrt{2}$，5+2$\sqrt{6}$）．

点评 本题考查了绝对值不等式的性质与解法，属于中档题．