Question

14．已知双曲线Γ过点$（{2，\sqrt{3}}）$，且与双曲线$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$有相同的渐近线，则双曲线Γ的标准方程为$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{8}=1$．

Answer 1

分析 设与双曲线$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$有相同渐近线方程的双曲线的标准方程$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=λ，将点$（{2，\sqrt{3}}）$的坐标代入，求得λ即可．

解答 解：依题意，设所求的双曲线的标准方程$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=λ，将点$（{2，\sqrt{3}}）$的坐标代入，
得：1-3=λ，
∴λ=-2，
∴所求的双曲线的标准方程$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=-2，即$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{8}=1$．
故答案为：$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{8}=1$．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查待定系数法的应用，属于中档题．