Question

9．已知数列{a_n}的前n项和S_n=k（3ⁿ-1），且a₃=27．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用数列的通项公式与前n项和与前n-1项和的关系求解通项公式．
（2）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求解数列的和．

解答 解：（1）当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=k（{3^n}-1）-k（{3^{n-1}}-1）=2k•{3^{n-1}}$${a_3}=2k•{3^2}=27$，解得$k=\frac{3}{2}$，${a_n}={3^n}$；当n=1时，${a_1}={S_1}=k（{3^1}-1）=3={3^1}$，
综上所述，${a_n}={3^n}（n≥2）$；…（4分）
（2）由（1）可知：na_n=n•3ⁿ，
T_n=1×3¹+2×3²+3×3³+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，…①
3T_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，…②，
①-②得：$-2{T_n}={3^1}+{3^2}+…+{3^n}-n•{3^{n+1}}$，$-2{T_n}=\frac{{3（1-{3^n}）}}{1-3}-n•{3^{n+1}}=\frac{3}{2}（{3^n}-1）-n•{3^{n+1}}$${T_n}=\frac{{（2n-1）{3^{n+1}}+3}}{4}$．…（10分）

点评 本题考查数列的应用，数列通项公式以及数列求和，考查计算能力．