Question

过抛物线y²=4x焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，如果

AF

=2

FB

，则直线AB的方程是

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先设点A，B的坐标，求出直线方程后与抛物线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，求出两根，再根据向量的有关知识得到坐标的关系，进而代入抛物线的方程中得到答案

解答： 解：∵抛物线 C：y²=4x焦点F（1，0），准线x=-1，则直线AB的方程为y=k（x-1），
联立方程

y=k(x-1) y2=4x

可得k²x²-2（2+k²）x+k²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2(2+k2)

k2

，x₁•x₂=1，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

4

k2

•k=

4

k

①，
∴

AF

=（1-x₁，-y₁），

FB

=（x₂-1，y₂）
∵

AF

=2

FB

，
∴

1-x1=2(x2-1) y1=-2y2

，即

x1=3-2x2 y1=-2y2

②
①②联立可得，x₂=

k2-4

k2

，y₂=-

4

k

，
代入抛物线方程y²=4x可得k²=8，
∵k=±2

2

，
∴直线AB的方程为y=±2

2

（x-1），即x±

2

4

y-1=0，
故答案为：x±

2

4

y-1=0

点评：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，方程的根与系数关系的应用，抛物线定义的应用以及向量的坐标表示的应用