Question

已知双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交双曲线于A，B两点，若AB的中点坐标为N（-12，-15），则E的方程为（　　）

• A、

  x2

  3

  +

  y2

  6

  =1
• B、

  x2

  6

  -

  y2

  3

  =1
• C、

  x2

  4

  -

  y2

  5

  =1
• D、

  x2

  5

  -

  y2

  4

  =1

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入双曲线的方程，两式相减，根据线段AB的中点坐标为（-12，-15），求出斜率，进而可得a，b的关系，根据右焦点为F（3，0），求出a，b的值，即可得出双曲线的方程．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x12

a2

-

y12

b2

=1，

x22

a2

-

y22

b2

=1，
两式相减可得，

(x1+x2)(x1-x2)

a2

=

(y1+y2)(y1-y)2

b2

∵线段AB的中点坐标为N（-12，-15），
∴

-24(x1-x2)

a2

=

-30(y1-y2)

b2

∴

y1-y2

x1-x2

=

4b2

5a2

∵直线的斜率为

-15

-12-3

=1
∴

4b2

5a2

=1
∵右焦点为F（3，0），
∴a²+b²=9
解得a²=4，b²=5
∴E的方程为

x2

4

-

y2

5

=1
故选C．

点评：本题考查双曲线的方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．