Question

中心在原点，焦点坐标为（0，5

2

）的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为

1

2

，则椭圆方程为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设椭圆方程：

x2

b2

+

y2

a2

=1，由已知条件推导出a²-b²=c²=50，y=3x-2代入得（a²+9b²）x²-12b²x+4b²-a²b²=0，韦达定理得

12b2

a2+9b2

=1，由此能求出椭圆方程．

解答： 解：设椭圆方程：

x2

b2

+

y2

a2

=1，
∵焦点坐标为（0，5

2

），
∴a²-b²=c²=50，
y=3x-2代入得：
（a²+9b²）x²-12b²x+4b²-a²b²=0，
设直线与椭圆交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为

1

2

，
∴韦达定理得：x₁+x₂=

12b2

a2+9b2

=1，
解得：b²=25，a²=75，
∴椭圆方程是

y2

75

+

x2

25

=1．
故答案为：

y2

75

+

x2

25

=1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用．