Question

在数列中，（）。从数列中选出（）项并按原顺序组成的新数列记为，并称为数列的项子列，例如：数列，，，为的一个4项子列。

（1）试写出数列的一个3项子列，并使其为等差数列；

（2）如果为数列的一个5项子列，且为等差数列。

证明：的公差满足；

（3）如果为数列的一个（）项子列，且为等比数列。

证明：。

Answer 1

解：（1）答案不唯一. 如3项子列，，；

（2）证明：由题意，所以 .

若  ，由为的一个5项子列，得，

所以 .因为 ，，

 所以 ，即.

 这与矛盾.  所以 .  所以 ，

 因为 ，， 所以 ，

即，               综上，得.

（3）证明：由题意，设的公比为，

则 .

因为为的一个项子列，所以 为正有理数，且，. 设 ，且互质，）.

当时，因为 ， 所以

，所以 . 

当时，因为 是中的项，且互质，所以 ， 所以

.

因为 ，，

所以

.

综上， .