Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-

7x

x2+x+1

（1）求x＜0时，f（x）的解析式；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的值域,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先求出f（-x）的解析式，然后根据函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得函数f（x）=f（-x），据此解答即可；
（2）分类求出f（x）的值域，x=0时，y=0；首先变形：x＞0时，f（x）=-

7x

x2+x+1

=-

7

x+ 1 x +1

，然后根据x+

1

x

≥2，求出x＞0时，f（x）的取值范围是多少；最后根据f（x）是定义在R上的偶函数，求出x＜0时，f（x）的取值范围是多少，据此解答即可．

解答： 解：（1）令x＜0，则-x＞0，
所以f（-x）=-

7(-x)

x2-x+1

=

7x

x2-x+1

因为y=f（x）是定义在R上的偶函数，
所以f（-x）=f（x），
所以x＜0时，f（x）=

7x

x2-x+1

（2）①x=0时，y=0
②x＞0时，f（x）=-

7x

x2+x+1

=-

7

x+ 1 x +1

因为x+

1

x

≥2，所以x+

1

x

+1≥3
所以0＜

7

x+ 1 x +1

≤

7

3

，-

7

3

≤-

7

x+ 1 x +1

＜0
即x＞0时，-

7

3

≤y＜0
③因为y=f（x）是定义在R上的偶函数，
所以x＜0时，-

7

3

≤y＜0
综上，f（x）的值域是[-

7

3

，0]．

点评：本题主要考查了函数的解析式的求法，以及函数的值域的求法．