Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

3

2

，且a+b=3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，求证：点（m，k）在直线y=2x-

1

2

上．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意可得

a+b=3 c a = 3 2 a2=b2+c2

解得即可．
（2）由（1）知：A（-2，0），B（2，0），D（0，1），可得直线AD的方程为y=

1

2

x+1，由题意直线BP的方程为y=k（x-2），k≠0，且k≠±

1

2

，联立可得点M的坐标．设P（x₁，y₁），由直线BP的方程与椭圆的方程联立可得点P的坐标．设N（x₂，0），则由P，D，N三点共线得，k_DP=k_DN．即可证明．

解答： （1）解：由

a+b=3 c a = 3 2 a2=b2+c2

解得

a=2 b=1 c= 3

，
∴椭圆C 的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）证明：由（1）知：A（-2，0），B（2，0），D（0，1），
∴直线AD的方程为y=

1

2

x+1，
由题意，直线BP的方程为y=k（x-2），k≠0，且k≠±

1

2

，
由

y= 1 2 x+1 y=k(x-2)

解得M(

4k+2

2k-1

， 

4k

2k-1

)．
设P（x₁，y₁），则由

y=k(x-2) x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²-16k²x+16k²-4=0．
∴2x1=

16k2-4

4k2+1

，
∴y1=k(x1-2)=-

4k

4k2+1

．
∴P(

8k2-2

4k2+1

，  -

4k

4k2+1

)．
设N（x₂，0），则由P，D，N三点共线得，k_DP=k_DN．
即

- 4k 4k2+1 -1

8k2-2 4k2+1

=

-1

x2

，
∴x2=

8k2-2

4k2+4k+1

=

4k-2

2k+1

，
∴N(

4k-2

2k+1

， 0)．
∴MN的斜率m=

4k 2k-1 -0

4k+2 2k-1 - 4k-2 2k+1

=

2k+1

4

．
∴k=2m-

1

2

，即点（m，k）在直线y=2x-

1

2

上．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题转化为方程联立可得跟与系数的关系、斜率计算公式、三点共线，考查了推理能力与计算能力，属于难题．