Question

14．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x、y轴于点A（10$\sqrt{3}$，0），B（0，-30），一圆心位于（0，3），半径为3的动圆沿x轴向右滚动，动圆每6秒滚动一圈，则动圆与直线AB第一次相切时所用的时间为$\frac{9\sqrt{3}}{π}$ 秒．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，得出第一次与AB相切时，O正好在∠OAC的角平分线上，求出∠OAB的度数，求出∠OAM，根据三角函数值求出AM、求出OM，根据动圆每6秒滚动一圈即可求出动圆与直线AB第一次相切时所用的时间．

解答 解：如图当⊙O于AB第一次相切时，于x轴切于M，此时O正好在∠OAC的角平分线上，
∵A（10$\sqrt{3}$，0），B（0，-30），
∴OA=10$\sqrt{3}$，OB=30，
∴tan∠OAB=$\frac{30}{10\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，∴∠OAB=60°，∴∠OAM=60°，
∵OM=3，∴tan60°=$\frac{OM}{AM}$=$\frac{3}{AM}$，∴AM=$\sqrt{3}$，
∴OM=10$\sqrt{3}-\sqrt{3}=9\sqrt{3}$，
设动圆与直线AB第一次相切时所用的时间是x秒，
∵动圆每6秒滚动一圈，
∴$\frac{2π×3}{6}$=$\frac{9\sqrt{3}}{x}$，
解得：x=$\frac{9\sqrt{3}}{π}$．
故答案为：$\frac{9\sqrt{3}}{π}$．

点评 本题考查了切线的性质，特殊角的三角函数值，圆的性质等知识点，关键是能根据题意画出图形，并知道主要应该求那一条线段的长，题目比较难懂，是有一定难度的题目．