Question

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosBsin（-C）=cosC•（a+sinB），c=1．
 （1）求角C的大小；
（2）求a²+b²的最小值，并求取最小值时角A，B的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换化简已知等式可得sinA=acosC，结合正弦定理，可得sinC=-cosC，从而可求C．
（2）由余弦定理整理可得a²+b²=1-$\sqrt{2}$ab，结合基本不等式ab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$可得：a²+b²≤1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a²+b²），得到a²+b²≤2-$\sqrt{2}$当且仅当a=b时取到等号，取得最大值时∠A，∠B的值

解答 解：（1）cosBsin（-C）=cosC•（a+sinB），得到cosCsinB+sinCcosB+acosC=0，
⇒sin（B+C）=sinA=-acosC，…（3分）
∵$\frac{sinA}{a}=\frac{sinC}{c}=sinC$=-cosC即sinC=-cosC，所以C=$\frac{3π}{4}$；…（7分）
（2）∵a²+b²-c²=2abcosC，所以a²+b²=1-$\sqrt{2}$ab①，…（9分）
∵ab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$②，
∴②代入①可得：a²+b²≥1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a²+b²），
所以a²+b²≥2-$\sqrt{2}$…（12分）
当且仅当a=b时取到等号，所以取到最小值2-$\sqrt{2}$时A=B=$\frac{π}{8}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式的应用，综合性较强．