题目内容
11．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则：①若cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；
②若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形；
③$\overrightarrow a=（tanA+tanB，tanC）$，$\overrightarrow b=（1，1）$，若$\overrightarrow a•\overrightarrow b＞0$，则△ABC为锐角三角形；
④若O为△ABC的外心，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}（{b^2}-{c^2}）$；
⑤若sin2A+sin2B=sin2C，$且\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，$则\frac{{{{|{\overrightarrow{OA}}|}^2}+{{|{\overrightarrow{OB}}|}^2}}}{{{{|{\overrightarrow{OC}}|}^2}}}=5$
以上叙述正确的序号是①③④⑤．
分析 对5个命题分别进行判断，即可得出结论．
解答 解：①若cosBcosC＞sinBsinC，则cosBcosC-sinBsinC=cos（B+C）＞0，
即-cosA＞0，cosA＜0，则∠A为钝角，故△ABC一定是钝角三角形，正确．
②若acosA=bcosB，则由正弦定理得2rsinAcosA=2rsinBcosB，即sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=180，即A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，错误；
③$\overrightarrow a=（tanA+tanB，tanC）$，$\overrightarrow b=（1，1）$，
则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=tanA+tanB+tanC=（1-tanAtanB）tan（A+B）+tanC＞0
tan（A+B）+tanC＞tanAtanBtan（A+B）⇒0＞tanAtanBtan（A+B）
∴必有A+B＞$\frac{π}{2}$，且A，B都为锐角
∴C也必为锐角，
∴△ABC为锐角三角形，正确，
④O为△ABC的外心，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AO}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$，
=|$\overrightarrow{AO}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos＜$\overrightarrow{AO}$，$\overrightarrow{AC}$＞-|$\overrightarrow{AO}$|•|$\overrightarrow{AB}$|•cos＜$\overrightarrow{AO}$，$\overrightarrow{AB}$＞=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|2-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|2=$\frac{1}{2}$（b2-c2），正确，
⑤若sin2A+sin2B=sin2C，则由正弦定理得a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形，
∴（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OC}$）=0，
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OC}$•（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OA}$）+${\overrightarrow{OC}}^{2}$=0，∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}$=-2${\overrightarrow{OC}}^{2}$，
∵-$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OA}$，∴$\overrightarrow{OC}$2=$\overrightarrow{OB}$2+$\overrightarrow{OA}$2+2$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}$，∴5$\overrightarrow{OC}$2=$\overrightarrow{OB}$2+$\overrightarrow{OA}$2，即结论成立．
故答案为①③④⑤．
点评 本题考查三角形中的有关知识，考查向量知识的运用，属于中档题．
单元期中期末卷系列答案