Question

已知圆A：（x+2）²+y²=

25

4

，圆B：（x-2）²+y²=

1

4

，动圆P与圆A、圆B均外切．
（Ⅰ） 求动圆P的圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过圆心B的直线与曲线C交于M、N两点，求|MN|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设椭圆P的半径为r，则|PA|-|PB|=2，从而得到点P的轨迹是以A，B为焦点、实轴长为2的双曲线的右支，由此能求出动圆P的圆心的轨迹C的方程．
（Ⅱ）设MN的方程为x=my+2，代入双曲线方程，得（3m²-1）y²+12my+9=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出|MN|的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆P的半径为r，则|PA|=r+

5

2

，|PB|=r+

1

2

，
∴|PA|-|PB|=2，
故点P的轨迹是以A，B为焦点、实轴长为2的双曲线的右支，
∴动圆P的圆心的轨迹C的方程为x2-

y2

3

=1(x≥1)．
（Ⅱ）设MN的方程为x=my+2，代入双曲线方程，
得（3m²-1）y²+12my+9=0，
由

3m2-1≠0 △=144m2-36(3m2-1)＞0 y1y2= 9 3m2-1 ＜0

，
解得-

3

3

＜m＜

3

3

，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则|MN|=

1+m2

|y₁-y₂|=

6(m2+1)

1-3m2

=2(

4

1-3m2

-1)，
当m²=0时，|MN|_min=2（4-1）=6．

点评：本题考查动点的轨迹方程的求法，考查弦的最小值的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．