题目内容
如图，圆O为等腰梯形ABCD的外接圆，且AB∥CD，过点C作圆的切线CE交AB的延长线于E，证明：（1）∠E=∠CAD
（2）AC2=CD•AE．
考点：与圆有关的比例线段
专题：立体几何
分析：（1）由已知条件推导出AD=BC，从而得到∠ACD=∠BAC．再由AE为圆的切线，能证明∠ECB=∠BAC，再由圆内接四边形的性质，可得∠CBE=∠D，进而∠E=∠CAD；
（2）先证明△ACD∽△CAE，故AC•CE=CD•AE．再证明AC=CE，可得AC2=CD•AE．
（2）先证明△ACD∽△CAE，故AC•CE=CD•AE．再证明AC=CE，可得AC2=CD•AE．
解答：
证明：（1）∵ABCD是等腰梯形，AB∥CD，
∴AD=BC．
∴∠ACD=∠BAC，
∵AE为圆的切线，
∴∠ECB=∠BAC．
∴∠ACD=∠ECB．
又∵∠CBE=∠D，
∴∠E=∠CAD；
（2）∵AE为圆的切线，
∴∠ECA=∠CDA，
由（1）中∠ACD=∠BAC，
∴△ACD∽△CAE，
∴AC：AE=CD：CE
即AC•CE=CD•AE．
又∵∠E=∠CAD
∴AC=CE，
∴AC2=CD•AE．
∴AD=BC．
∴∠ACD=∠BAC，
∵AE为圆的切线，
∴∠ECB=∠BAC．
∴∠ACD=∠ECB．
又∵∠CBE=∠D，
∴∠E=∠CAD；
（2）∵AE为圆的切线，
∴∠ECA=∠CDA，
由（1）中∠ACD=∠BAC，
∴△ACD∽△CAE，
∴AC：AE=CD：CE
即AC•CE=CD•AE．
又∵∠E=∠CAD
∴AC=CE，
∴AC2=CD•AE．
点评：本题考查的知识点是弦切角定理，相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，难度中档．
练习册系列答案
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