Question

3．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角余弦为$\frac{1}{5}$，$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角余弦为为-$\frac{1}{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=1，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$的值为$\frac{26\sqrt{3}+51}{2}$．

Answer 1

分析 可设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{c}$，由题意可得cosB=-$\frac{1}{5}$，sinB=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，cosC=$\frac{1}{3}$，sinC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，由两角和的正弦公式和余弦公式，可得sinA，cosA，再由正弦定理和向量的数量积的定义，计算即可得到所求值．

解答 解：可设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{c}$，
$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角余弦为$\frac{1}{5}$，可得cosB=-$\frac{1}{5}$，sinB=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，
$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角余弦为为-$\frac{1}{3}$，可得cosC=$\frac{1}{3}$，sinC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
即有sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC
=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$×$\frac{1}{3}$+（-$\frac{1}{5}$）×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{2\sqrt{6}-2\sqrt{2}}{15}$，
cosA=-cos（B+C）=-cosBcosC+sinBsinC
=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{2\sqrt{6}}{5}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{1+8\sqrt{3}}{15}$，
由正弦定理可得$\frac{|\overrightarrow{a}|}{sinC}$=$\frac{|\overrightarrow{b}|}{sinA}$=$\frac{|\overrightarrow{c}|}{sinB}$=$\frac{1}{\frac{2\sqrt{6}-2\sqrt{2}}{15}}$，
可得|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{15}{2\sqrt{6}-2\sqrt{2}}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{5}{2}$（1+$\sqrt{3}$），
|$\overrightarrow{c}$|=$\frac{15}{2\sqrt{6}-2\sqrt{2}}$×$\frac{2\sqrt{6}}{5}$=$\frac{1}{2}$（9+3$\sqrt{3}$），
即有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{c}$|•cosA=$\frac{5}{2}$（1+$\sqrt{3}$）×$\frac{1}{2}$（9+3$\sqrt{3}$）×$\frac{1+8\sqrt{3}}{15}$
=$\frac{26\sqrt{3}+51}{2}$．
故答案为：$\frac{26\sqrt{3}+51}{2}$．

点评 本题考查向量的数量积的定义，考查正弦定理的运用，以及三角函数的求值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．