Question

13．经过双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1右焦点F的直线1交双曲线于A、B两点，点M是直线x=$\frac{9}{5}$上任意一点，直线MA、MF、MB的斜率分别为k₁、k₂、k₃，则（　　）

• A． k₁+k₃=k₂
• B． k₁+k₃=2k₂
• C． k₁k₃=k₂
• D． k₁k₃=k${\;}_{2}^{2}$

Answer 1

分析 求得双曲线的右焦点，设直线1的方程为x=my+5，代入双曲线的方程16x²-9y²=144，运用韦达定理，设M（$\frac{9}{5}$，t），运用直线的斜率公式可得k₂=$\frac{t}{\frac{9}{5}-5}$=-$\frac{5t}{16}$，k₁+k₃=$\frac{{y}_{1}-t}{{x}_{1}-\frac{9}{5}}$+$\frac{{y}_{2}-t}{{x}_{2}-\frac{9}{5}}$，代入韦达定理，化简整理即可得到k₁+k₃=2k₂．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1右焦点F为（5，0），
设直线1的方程为x=my+5，
代入双曲线的方程16x²-9y²=144，可得
（16m²-9）y²+160my+256=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有y₁+y₂=-$\frac{160m}{16{m}^{2}-9}$，y₁y₂=$\frac{256}{16{m}^{2}-9}$，
设M（$\frac{9}{5}$，t），可得k₂=$\frac{t}{\frac{9}{5}-5}$=-$\frac{5t}{16}$，
k₁+k₃=$\frac{{y}_{1}-t}{{x}_{1}-\frac{9}{5}}$+$\frac{{y}_{2}-t}{{x}_{2}-\frac{9}{5}}$=$\frac{{y}_{1}-t}{m{y}_{1}+\frac{16}{5}}$+$\frac{{y}_{2}-t}{m{y}_{2}+\frac{16}{5}}$
=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+（\frac{16}{5}-mt）（{y}_{1}+{y}_{2}）-\frac{32}{5}t}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+\frac{16}{5}m（{y}_{1}+{y}_{2}）+\frac{256}{25}}$，
代入韦达定理，可得k₁+k₃=$\frac{2m•256+（\frac{16}{5}-mt）•（-160m）-\frac{32}{5}t（16{m}^{2}-9）}{256{m}^{2}-2•256{m}^{2}+\frac{256}{25}（16{m}^{2}-9）}$=-$\frac{5t}{8}$，
即有k₁+k₃=2k₂．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，注意运用直线方程和双曲线的方程联立，运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．