Question

已知函数f（x）=e^x-x²+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx．（e≈2.71828）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈R时，求证：f（x）≥-x²+x；
（Ⅲ）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）利用图象在点x=0处的切线为y=bx，求出a，b，即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，确定函数的单调性，可得φ（x）_min=φ（0）=0，即可证明：f（x）≥-x²+x；
（Ⅲ）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立?

f(x)

x

＞k对任意的x∈（0，+∞）恒成立，k＜g（x）_min=g（1）=0，即可求实数k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=e^x-x²+a，f'（x）=e^x-2x．
由已知

f(0)=1+a=0 f′(0)=1=b

⇒

a=-1 b=1

，f（x）=e^x-x²-1．…（4分）
（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，φ'（x）=e^x-1，由φ'（x）=0，得x=0，
当x∈（-∞，0）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增．
∴φ（x）_min=φ（0）=0，从而f（x）≥-x²+x．…（8分）
（Ⅲ）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立?

f(x)

x

＞k对任意的x∈（0，+∞）恒成立，
令g(x)=

f(x)

x

， x＞0，
∴g′(x)=

xf′(x)-f(x)

x2

=

x(ex-2x)-(ex-x2-1)

x2

=

(x-1)(ex-x-1)

x2

．
由（Ⅱ）可知当x∈（0，+∞）时，e^x-x-1＞0恒成立，…（10分）
令g'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0，得0＜x＜1．
∴g（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．g（x）_min=g（1）=0．
∴k＜g（x）_min=g（1）=e-2，∴实数k的取值范围为（-∞，e-2）．…（14分）

点评：此题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，考查了函数的单调性，属于中档题．