Question

设函数f（x）=

3

cos²ωx+sinωxcosωx+a，（ω＞0，a∈R），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为

π

6

．
（Ⅰ）求ω的值及对称轴方程：
（Ⅱ）如果f（x）在区间[-

π

3

，

5π

6

]上的最小值为

3

，求a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）先对三角函数式进行恒等变换，变换成正弦型函数然后根据题中的条件，进一步确定ω的值及对称轴方程．
（Ⅱ）根据第一步求得的结果，依据在区间[-

π

3

，

5π

6

]上的最小值为

3

，进一步求得a的值．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=

3

cos²ωx+sinωxcosωx+a=

3

2

cos2ωx+

1

2

sin2ωx+

3

2

+a=sin（2ωx+

π

3

）+

3

2

+a
∵f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为

π

6

∴2ω

π

6

+

π

3

=

π

2

 解得ω=

1

2

∴函数f（x）=sin（x+

π

3

）+

3

2

+a的对称轴方程
令x+

π

3

=kπ+

π

2

 （k∈Z）
解得  x=kπ+

π

6

 （k∈Z）
故函数f（x）的对称轴方程为：x=kπ+

π

6

 （k∈Z）
（Ⅱ）由（1）得f（x）=sin（x+

π

3

）+

3

2

+a
∵x∈[-

π

3

，

5π

6

]
∴x+

π

3

∈[0，

7π

6

]
∴-

1

2

≤sin(x+

π

3

)≤1
从而函数f（x）在[-

π

3

，

5π

6

]取得的最小值为-

1

2

+

3

2

+a
∴由题设f（x）在区间[-

π

3

，

5π

6

]上的最小值为

3

则

1

2

+

3

2

+a=

3

即 a=

3 +1

2

故答案为：
（1）ω=

1

2

  函数f（x）的对称轴方程为：x=kπ+

π

6

 （k∈Z）
（2）a=

3 +1

2

点评：本题的重点是考察三角函数式的恒等变换、对称轴方程、以及在某一定义域下的值域，是高招的重点题型．