Question

设函数其中。（1）求的单调区间；
（2）当时，证明不等式：；
（3）设的最小值为证明不等式：。

Answer 1

 （1）单调减区间是，单调增区间是。（2）略（3）略

：（Ⅰ）由已知得函数的定义域为且
令，解得。当x变化时，、的变化情况如下表：

		0	+
		极小值

由上表可知，当时，函数在内单调递减，
当时，函数在内单调递增，
所以，函数的单调减区间是，函数的单调增区间是。
（Ⅱ）设，对求导，得。
当时，，所以在内是增函数，所以在上是增函数。
所以当时，即
同理可证。
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，将代入，得，即，，∴即