Question

12．一条光线从点A（0，2）射入，与x轴相交于点B（2，0），经x轴反射后过点C（m，1），直线l过点C且分别与x轴和y轴的正半轴交于P，Q两点，O为坐标原点，则当△OPQ的面积最小时直线l的方程为（

• A． x+$\frac{y}{3}$=1
• B． $\frac{x}{6}$+$\frac{y}{2}$=1
• C． $\frac{x}{4}$+$\frac{y}{4}$=1
• D． $\frac{x}{12}$+$\frac{3y}{4}$=1

Answer 1

分析 求出C的坐标，利用基本不等式，即可求出当△OPQ的面积最小时直线l的方程．

解答 解：直线AB的斜率为-1，
则反射光线所在的直线方程为y=x-2，代入点C得m=3，即C（3，1）．
设直线l的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0），
则△OPQ的面积S=$\frac{1}{2}$ab，且$\frac{3}{a}$+$\frac{1}{b}$=1≥2$\sqrt{\frac{3}{ab}}$，即有ab≥12，
当且仅当$\frac{3}{a}$=$\frac{1}{b}$，即a=6，b=2等号成立，
此时△OPQ的面积S取最小值6，直线l的方程为$\frac{x}{6}$+$\frac{y}{2}$=1．
故选B．

点评 考查用截距式求直线方程的方法，基本不等式的应用，正确运用基本不等式是解题的关键．