Question

已知函数f（x）=2sin²x+

3

sin2x-1．
（1）求函数f（x）的零点；
（2）若方程f（x-

π

6

）+4sinx+1=a在x∈[

π

6

，

π

2

]上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：三角方程,函数的零点

专题：三角函数的求值

分析：（1）f（x）=2sin（2x-

π

6

），令2x-

π

6

=kπ，得x=

π

12

+

kπ

2

，由此能求出f（x）的零点．
（2）由已知得a=4(sinx+

1

2

)2-2，由此利用已知条件能推导出a∈[2，7]．

解答： 解：（1）f(x)=1-cos2x+

3

sin2x-1=2(sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

)=2sin(2x-

π

6

)
令：2x-

π

6

=kπ，得x=

π

12

+

kπ

2

，所以f（x）的零点为x=

π

12

+

kπ

2

（2）a=f(x-

π

6

)+4sinx+1=2sin(2x-

π

3

-

π

6

)+4sinx+1=-2cos2x+4sinx+1
=-2（1-2sin²x）+4sinx+1
=4sin²x+4sinx-1
=4(sinx+

1

2

)2-2
当x∈[

π

6

，

π

2

]时，sinx∈[

1

2

，1]，4(sinx+

1

2

)2-2∈[2，7]
因为f(x-

π

12

)+4sinx=a在x∈[

π

6

，

π

2

]上有解，所以a∈[2，7]

点评：本题考查函数的零点的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要注意三角函数性质的合理运用．