Question

某房地产项目打造水景工程，拟在小区绿地中建设人工湖．该绿地形状为Rt△OPQ（如图），∠POQ=90°，OP=40m，OQ=40

3

m．人工湖也呈三角形形状，三个顶点分别为O、M、N，其中点M，N在线段PQ上．若∠MON=30°，当∠POM取何值时，人工湖的面积最小？并求面积的最小值．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：解三角形

分析：由已知得∠OPQ=60°，从而∠PQO=30°，设∠POM=α，0°≤α≤60°，由正弦定理可得OM=

OPsin60°

sin(60°+α)

，ON=

OPsin60°

sin(90°+α)

，故S_△OMN=

1

2

OM•ONsin∠MON=

1200

2sin(2α+60°)+ 3

，由此能求出∠POM=15°时，△OMN的面积最小，面积的最小值1200（2-

3

）．

解答： 解：∵Rt△OPQ中，∠POQ=90°，OP=40m，OQ=40

3

m，
∴tan∠OPQ=

OQ

PO

=

40 3

40

=

3

，
∴∠OPQ=60°，∴∠PQO=30°，
设∠POM=α，0°≤α≤60°，
在△OMP中，由正弦定理可得：

OM

sin∠OPM

=

OP

sin∠OMP

，
OM=

OPsin60°

sin(60°+α)

，
同理，ON=

OPsin60°

sin(90°+α)

，
故S_△OMN=

1

2

OM•ONsin∠MON
=

1

4

×

OP2•sin260°

sin(60°+α)sin(90°+α)

=

600

3 cos2α+sinαcosα

=

600

1 2 sin2α+ 3 2 cos2α+ 3 2

=

1200

2sin(2α+60°)+ 3

因为0°≤α≤60°，所以60°≤2α+60°≤180°，
所以当α=15°，即∠POM=15°时，sin（2α+60°）的最大值为1，
此时，△OMN的面积最小，面积的最小值1200（2-

3

）．

点评：本题考查当∠POM取何值时，人工湖的面积最小，并求面积的最小值，解题时要认真审题，注意正弦定理的合理运用．