Question

已知f（x）=2cos²x+2

3

（sinxcosx+

3 a

6

），其中x∈R，a为常数则
（1）求y=f（x）的最小正周期；
（2）若角C为△ABC的三个内角中的最大角且y=f（c）的最小值为0，求a的值；
（3）在（2）的条件下，试画出y=f（x）（x∈[0，π]）的简图．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简，由周期公式求周期；
（2）根据C为三角形的最大角求得C的范围，求出函数y=f（c）的最小值，由最小值为0求得a的值；
（3）由五点作图法作函数的图象．

解答： 解：（1）y=f(x)=2cos2x+2

3

(sinxcosx+

3

6

a)=cos2x+

3

sin2x+1+a
=2sin(2x+

π

6

)+a+1，
∴T=π；
（2）由C为△ABC的三个内角中的最大角可得：

π

3

≤C＜π，2C+

π

6

∈[

5π

6

，

13π

6

)，
∴y=2sin(2c+

π

6

)+a+1的最小值为：2×（-1）+a=1=0，
∴a=1；
（3）y=2sin(2x+

π

6

)+2．
列表：

x	0	π 6	π 3	π 2	2π 3	5π 6	π
2x+ π 6	π 6	π 2	5π 6	7π 6	3π 2	11π 6	13π 6
y	3	4	3	1	0	1	3

描点并作图：

点评：本题考查了三角恒等变换的应用，考查了三角函数的性质，训练了五点作图法，是中档题．