Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n，1，2S_n（n∈N^*）成等差数列．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足b_n=（3n-1）•a_n（n∈N^*，证明：T_n＜

7

2

．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n，1，2S_n成等差数列，可得a_n=2-2S_n，代入计算求a₁，a₂的值；
（2）利用a_n与s_n的关系求得数列{a_n}的通项公式；
（3）利用错位相减法求得T_n，进行放缩即得结论成立．

解答： 解：（1）∵a_n，1，2S_n成等差数列，∴a_n=2-2S_n，
∴令n=1，解得a₁=

2

3

；令n=2，解得a₂=

2

9

…（2分）
（2）由a_n=2-2S_n，
当n≥2时，由a_n-1=2-2S_n-1，可得a_n-a_n-1=-2a_n…（4分）
即a_n=

1

3

a_n-1…（5分）  
又a₁=

2

3

，
∴数列{a_n}是以a₁=

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，…（6分）
∴a_n=2•

1

3n

 …（7分）
（3）∵b_n=（3n-1）•a_n=1（3n-1）•

1

3n

  …（8分）
∴T_n=2[2•

1

3

+5•

1

32

+…+（3n-1）

1

3n

]，
∴

1

3

T_n=2[2•

1

32

+5•

1

33

+…+（3n-4）

1

3n

+（3n-1）•

1

3n+1

]，
两式相减，整理可得T_n=

7

2

-

1

3n

（3n+

7

2

），
∴T_n＜

7

2

． …（14分）

点评：本题主要考查了数列通项公式及数列求和的方法，属常规题目，属中档题．