Question

曲线f（x）=cosx（x＞0）上所有切线斜率为0的切点按从左至右的顺序排成点列（a_n，f（a_n））（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

an

2n

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求cosT₆的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用导数运算的法则可得f′（x）=-sinx，令f′（x）=0，解得x=kπ（k∈N^*），利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）b_n=

an

2n

=

nπ

2n

，再利用“错位相减法”可得T_n=π(2-

2+n

2n

)．再利用诱导公式即可得出cosT₆．

解答： 解：（1）∵f（x）=cosx（x＞0），∴f′（x）=-sinx，
令f′（x）=0，解得x=kπ（k∈N^*），
∴数列{a_n}是以π为首项，π为公差的等差数列，
∴a_n=π+（n-1）π=nπ（n∈N^*）．
（2）b_n=

an

2n

=

nπ

2n

，
∴T_n=π(

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

)，

1

2

Tn=π(

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

)，
两式相减可得：

1

2

Tn=π(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

)
=π[

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

]
=π(1-

1

2n

-

n

2n+1

)，
∴T_n=π(2-

2+n

2n

)．
∴cosT₆=cosπ(2-

8

26

)=cos

π

8

=

1+cos π 4 2

=

2+ 2

2

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、诱导公式即可得出，考查了推理能力与计算能力，属于难题．