Question

如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=PC=AC=1，BC=2，又∠ACB=120°，AB⊥PC．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角M-AC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）由已知条件推导出PC⊥平面ABC，由此能证明平面PAC⊥平面ABC．
（2）几何法：取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，由已知条件能推导出MN⊥平面ABC，作NH⊥AC，得到∠MHN为二面角M-AC-B的平面角，由此能求出结果．
向量法：在平面ABC内，过C作CD⊥CB，建立空间直角坐标系C-xyz，利用向量法能求出二面角M-AC-B的平面角的余弦值．

解答： （1）证明：∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B，
∴PC⊥平面ABC，…（2分）
又∵PC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABC．…（5分）
（2）解法一：（几何法）
取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，
∵PM∥CN，PM=CN
∴MN∥PC，MN=PC，
从而MN⊥平面ABC
作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH，则由三垂线定理知，AC⊥NH，
∴∠MHN为二面角M-AC-B的平面角
在△CNH中，NH=CN•sin∠NCH=1×

3

2

=

3

2

，
在△MNH中，MH=

NH2+MN2

=

( 3 2 )2+12

=

7

2

则cos∠MHN=

NH

MH

=

21

7

．
解法二：（向量法）
在平面ABC内，过C作CD⊥CB，建立空间直角坐标系C-xyz（如图）…（6分）
由题意有A（

3

2

，-

1

2

，0），M（0，0，1）
∴

CM

=（0，1，1），

CA

=（

3

2

，-

1

2

，0），
设平面MAC的一个法向量为

n

=(x1，y1，z1)，
则

n

•

CM

=0，

n

•

CA

=0，
∴

y1+z1=0 3 2 x1- 1 2 y1=0

，取x₁=1，得

n

=(1，

3

，-

3

)…（9分）
平面ABC的法向量取为

m

=(0，0，1)…（10分）
设

m

与

n

所成的角为θ，则cosθ=

- 3

1× 7

=-

21

7

，…（11分）
显然，二面角M-AC-B的平面角为锐角，
故二面角M-AC-B的平面角的余弦值为

21

7

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．