Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，b=2c，且B-C=

π

3

．
（1）求角C；
（2）若c=1，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）将b=2c利用正弦定理化简，把B=

π

3

+C代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间的基本关系求出tanC的值，即可确定出C的度数；
（2）由C的度数求出B的度数为

π

2

，在直角三角形中，求出b与a的值，利用三角形面积公式即可求出△ABC的面积．

解答： 解：（1）∵b=2c，由正弦定理，得b=2RsinB，c=2RsinC，
∴将其代入，得sinB=2sinC，
∵B-C=

π

3

，∴B=

π

3

+C，
将其代入上式，得sin（

π

3

+C）=2sinC，
∴sin

π

3

cosC+cos

π

3

sinC=

3

2

cosC+

1

2

sinC=2sinC，即

3

2

cosC=

3

2

sinC，
整理得，

3

sinC=cosC，即tanC=

3

3

，
∵角C是三角形的内角，
∴C=

π

6

；
（2）∵C=

π

6

，∴B=

π

3

+

π

6

=

π

2

，
又∵c=1，∴b=2c=2，
∴根据勾股定理得：a=

b2-c2

=

3

，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

2

．

点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．