Question

已知不等式

kx2+kx+6

x2+x+2

＞2对任意的x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：将不等式

kx2+kx+6

x2+x+2

＞2转化为（k-2）x²+（k-2）x+2＞0．分k=2和k≠2两种情况讨论，对于后者利用一元二次不等式的性质可知

k-2＞0 △=(k-2)2-8(k-2)＜0

．解不等式组即可确定k的取值范围．

解答： 解：∵x²+x+2＞0，
∴不等式

kx2+kx+6

x2+x+2

＞2可转化为
kx²+kx+6＞2（x²+x+2）．
即（k-2）x²+（k-2）x+2＞0．
当k=2时，不等式恒成立．
当k≠2时，不等式（k-2）x²+（k-2）x+2＞0恒成立等价于

k-2＞0 △=(k-2)2-8(k-2)＜0

．
解得2＜k＜10．
∴实数k的取值范围是（2，10）．

点评：本题考查分情况讨论的数学思想以及一元二次不等式性质的应用，属于中档题．