Question

在（1-x）³（1+x）⁸的展开式中，含x²项的系数是n，若(8-nx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则a₁+a₂+…+a_n=（　　）

• A、1
• B、-1
• C、1-8⁷
• D、-1+8⁷

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：由已知条件求得n=7，可得(8-nx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn=（8-7x）⁷，令x=0求得 a₀，再令x=1可得a₀+a₁+a₂+…+a_n=1，从而求得a₁+a₂+…+a_n的值．

解答： 解：∵（1-x）³（1+x）⁸=[1+

C

1 3

（-x）+

C

2 3

•（-x）²+

C

3 3

•（-x）³]•[

C

0 8

•x0+

C

1 8

•x1+…+

C

8 8

•x8]，
∴含x²项的系数是n=

C

2 8

+

C

1 3

•（-1）•

C

1 8

+

C

2 3

=7．
∵(8-nx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn=（8-7x）⁷，
令x=0可得 a₀=8⁷．
再令x=1可得a₀+a₁+a₂+…+a_n=1，∴a₁+a₂+…+a_n=1-8⁷，
故选：C．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．