题目内容
已知f(x)=lg(
+2x)，其中b是常数．
（1）若y=f（x）是奇函数，求b的值；
（2）求证：y=f（x）的图象上不存在两点A、B，使得直线AB平行于x轴．
| 4x2+b |
（1）若y=f（x）是奇函数，求b的值；
（2）求证：y=f（x）的图象上不存在两点A、B，使得直线AB平行于x轴．
考点：对数函数图象与性质的综合应用,函数奇偶性的性质
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据f（x）+f（-x）=0，化简求得b的值．
（2）设定义域内任意x1＜x2，设h(x)=
+2x，用函数的单调性的定义证明h（x）在函数的定义域内是增函数，可得f（x）在定义域内是增函数，从而得出结论．
（2）设定义域内任意x1＜x2，设h(x)=
| 4x2+b |
解答：
解：（1）∵f(x)=lg(
+2x) 是奇函数，
所以对定义域内任意x，都有f（x）+f（-x）=0，即 lg(
+2x)+lg(
-2x)=0，
即 lgb=0，可得b=1．
此时，f(x)=lg(
+x)，为奇函数．
（2）设定义域内任意x1＜x2，设h(x)=
+2x，
∵h(x1)-h(x2)=
+2x1-
-2x2=2[
+x1-x2]
=2(x1-x2)(
+1)，
当b≤0时，总有0≤x1＜x2，∴0＜
＜1，可得h（x1）＜h（x2）．
当b＞0时，∵x1-x2＜0，
≥2x1，
≥2x2，
∴-1＜
＜1，得h（x1）＜h（x2）．
故总有f（x）在定义域上单调递增，∴y=f（x）的图象上不存在两点，
使得所连的直线与x轴平行．
| 4x2+b |
所以对定义域内任意x，都有f（x）+f（-x）=0，即 lg(
| 4x2+b |
| 4x2+b |
即 lgb=0，可得b=1．
此时，f(x)=lg(
| 4x2+1 |
（2）设定义域内任意x1＜x2，设h(x)=
| 4x2+b |
∵h(x1)-h(x2)=
| 4x12+b |
| 4x22+b |
| 2x12-2x22 | ||||
|
=2(x1-x2)(
| 2(x1+x2) | ||||
|
当b≤0时，总有0≤x1＜x2，∴0＜
| 2(x1+x2) | ||||
|
当b＞0时，∵x1-x2＜0，
| 4x12+b |
| 4x22+b |
∴-1＜
| 2(x1+x2) | ||||
|
故总有f（x）在定义域上单调递增，∴y=f（x）的图象上不存在两点，
使得所连的直线与x轴平行．
点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，函数的单调性的判断和证明，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题
练习册系列答案
相关题目
在（1-x）3（1+x）8的展开式中，含x2项的系数是n，若(8-nx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则a1+a2+…+an=（ ）
| A、1 |
| B、-1 |
| C、1-87 |
| D、-1+87 |