Question

2．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x²，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值范围为（2$\sqrt{2}$-1，2$\sqrt{6}$-4）．

Answer 1

分析 本题通过奇函数特征得到函数图象经过原点，且关于原点对称，利用f（x+1）=f（x）+f（1）得到函数类似周期性特征，从而可以画出函数的草图，再利用两个临界状态的研究，得到k的取值范围

解答 解：∵当0≤x≤1时，f（x）=x²，
∴f（1）=1．
∵当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），
∴f（x+1）=f（x）+1，
∴当x∈[n，n+1]，n∈N^*时，
f（x+1）=f（x-1）+2=f（x-2）+3=…=f（x-n）+n+1=（x-n）²+n，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴函数图象经过原点，且关于原点对称．
∵直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，
∴当x＞0时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有3个不同的公共点，
∴由x＞0时f（x）的图象可知：
直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈[1，2]时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，
直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈[2，3]时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有9个不同的公共点，
∴直线y=kx与函数y=f（x）的图象位置情况介于上述两种情况之间．
∵当x∈[1，2]时，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=（x-1）^{2}+1}\end{array}\right.$得：k=2$\sqrt{2}$-2
x²-（k+2）x+2=0，
令△=0，得：k=2$\sqrt{2}$-2．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=（x-2）^{2}+2}\end{array}\right.$得：
x²-（k+4）x+6=0，
令△=0，得：k=2$\sqrt{6}$-4．
∴k的取值范围为（2$\sqrt{2}$-1，2$\sqrt{6}$-4）．
故答案为：（2$\sqrt{2}$-2，2$\sqrt{6}$-4）．

点评 本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的零点与方程根的关系，考查函数的对称性、周期性、奇偶性的综合应用，考查转化思想与作图能力，属于难题．