Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的焦点在x轴上，以椭圆右顶点为焦点的抛物线标准方程为y²=16x．
（1）求椭圆C的离心率
（2）若动直线l的斜率为$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且与椭圆C交于不同的两点M、N，已知点Q$（-\sqrt{2}，0）$，求$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）y²=16x的焦点坐标为（4，0），所以a=4，可得c=$\sqrt{14}$，即可求出椭圆C的离心率；
（2）设直线l方程，与椭圆方程联立，消去y，再由根的判别式和韦达定理进行求解．

解答 解：（1）y²=16x的焦点坐标为（4，0），所以a=4，
所以c=$\sqrt{14}$，
所以椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{14}}{4}$；
（2）设直线l方程为y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+b．
与椭圆方程联立，消去y，整理得5x²-8$\sqrt{2}$bx+（8b²-16）=0
因为直线l与椭圆C交于不同两点，所以△=128b²-20（8b²-16）＞0，
解得-$\sqrt{10}$＜b＜$\sqrt{10}$．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$b，x₁x₂=$\frac{8{b}^{2}-16}{5}$，
y₁y₂=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₁+b）（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₂+b）=$\frac{{b}^{2}-8}{5}$，
所以$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}$=（x₁+$\sqrt{2}$，y₁）•（x₂+$\sqrt{2}$，y₂）=x₁x₂+$\sqrt{2}$（x₁+x₂）+y₁y₂+2=$\frac{9{b}^{2}+16b-14}{5}$，
因为-$\sqrt{10}$＜b＜，所以当b=-$\frac{8}{9}$时，$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}$取得最小值-$\frac{38}{9}$．

点评 本题考查直线和圆锥曲线的综合运用，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，正确运用韦达定理是关键．