Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥AD，面PAD⊥面ABCD，PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，
（1）求证：PB∥面EFG；
（2）求异面直线EG与BD所成角的余弦；
（3）线段CD上是否存在点Q，使A到平面EFQ的距离为0.8？若存在，求出CQ长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PB∥平面EFG．
（2）由

EG

=（1，2，-1），

BD

=（-2，2，0），利用向量法能求出异面直线EG与BD所成角的余弦值．
（3）假设线段CD上存在点Q，使A到平面EFQ的距离为0.8，设CQ长为t，则Q（2-t，2，0），由此利用向量法能推导出线段CD上不存在点Q，使A到平面EFQ的距离为0.8．

解答： （1）证明：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，
AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，2），B（2，0，0），E（0，0，1），
D（0，2，0），F（0，1，1），G（1，2，0），

PB

=（2，0，-2），

EF

=（0，1，0），

EG

=（1，2，-1），
设平面EFG的法向量

m

=（x，y，z），
则

m • EF =y=0 m • EG =x+2y-z=0

，
取x=1，得

m

=（1，0，1），
∵

PB

•

m

=2+0-2=0，PB不包含于平面EFG，
∴PB∥平面EFG．
（2）解：

EG

=（1，2，-1），

BD

=（-2，2，0），
|cos＜

EG

，

BD

＞|=|

-2+4+0

6 × 8

|=

3

6

．
∴异面直线EG与BD所成角的余弦值为

3

6

．
（3）解：假设线段CD上存在点Q，使A到平面EFQ的距离为0.8，
设CQ长为t，则Q（2-t，2，0），

EF

=（0，1，0），

EQ

=（2-t，2，-1），
设平面EFQ的法向量

n

=（a，b，c），
则

EF • n =b=0 EQ • n =(2-t)a+2b-c=0

，取a=1，得

n

=(1，0，2-t)，
∵

AE

=（0，0，1），A到平面EFQ的距离为0.8，
∴

| AE • n |

| n |

=

|2-t|

1+(2-t)2

=0.8，
整理，得39t²+36t+20=0，
△=36²-80×39＜0，
∴t不存在，即线段CD上不存在点Q，使A到平面EFQ的距离为0.8．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线段CD上是否存在点Q，使A到平面EFQ的距离为0.8的判断与求法，解题时要注意向量法的合理运用．