Question

已知二次函数g（x）对任意的x都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1，设函数f（x）=g（x+

1

2

）+mlnx+

9

8

．
（1）求g（x）的表达式；
（2）是否存在实数m∈（-∞，0），使得对任意的x∈R₊，恒有f（x）＞0，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设g（x）=ax²+bx+c（a≠0），于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）²+2c=（x-1）²-2，g（1）=-1，由此能求出g（x）的表达式．
（2）f（x）=g（x+

1

2

）+mlnx+

9

8

=

1

2

x2+mlnx（m∈R，x＞0），当m＞0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；当m=0时，f（x）=

x2

2

＞0对?x＞0，f（x）＞0恒成立；当m＜0时，由f′(x)=x+

m

x

=0，得x=

-m

．由此利用导数性质能求出存在实数m∈（-e，0]，使得对任意的x∈R₊，恒有f（x）＞0．

解答： 解：（1）设g（x）=ax²+bx+c（a≠0），
于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）²+2c=（x-1）²-2，
所以a=

1

2

，c=-1，
又g（1）=-1，则b=-

1

2

，
所以g（x）=

1

2

x2-

1

2

x-1．
（2）f（x）=g（x+

1

2

）+mlnx+

9

8

=

1

2

x2+mlnx（m∈R，x＞0），
当m＞0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；
当m=0时，f（x）=

x2

2

＞0对?x＞0，f（x）＞0恒成立；
当m＜0时，由f′(x)=x+

m

x

=0，得x=

-m

，
列表如下：

x	（0， -m ）	-m	（ -m ，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	极小值	↑

这时，[f（x）]_min=f（

-m

）=-

m

2

+mln

-m

，
由[f（x）]_min＞0，得

- m 2 +mln -m ＞0 m＜0

，解得-e＜m＜0，
若?x＞0，f（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（-e，0]．
所以，存在实数m∈（-e，0]，使得对任意的x∈R₊，恒有f（x）＞0．

点评：本题考查函数的表达式的求法，考查满足条件的实数的取值范围是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要注意导数性质的合理运用．