Question

7．已知函数f（x）=|x+2|-|x+a|
（1）当a=3时，解不等式f（x）≤$\frac{1}{2}$；
（2）若关于x的不等式f（x）≤a解集为R，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入f（x），得到关于f（x）的分段函数，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最大值，得到|a-2|≤a，解出即可．

解答 解：（1）当a=3时，f（x）=|x+2|-|x+3|，
$f（x）≤\frac{1}{2}$$|{x+2}|-|{x+3}|≤\frac{1}{2}$$\left\{{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{-（{x+2}）+（{x+3}）≤\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$
或$\left\{{\begin{array}{l}{-3＜x＜-2}\\{-（{x+2}）-（{x+3}）≤\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$
或 $\left\{{\begin{array}{l}{x≥-2}\\{（{x+2}）-（{x+3}）≤\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{1≤\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$或 $\left\{{\begin{array}{l}{-3＜x＜-2}\\{x≥-\frac{11}{4}}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x≥-2}\\{-1≤\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$φ或$-\frac{11}{4}≤x＜-2$或x≥-2，
故不等式的解集为：$\left\{{x\left|{x≥-\frac{11}{4}\left.{\;}\right\}}\right.}\right.$；                              
（2）由x的不等式f（x）≤a解集为R，
得函数f（x）_max≤a，
∵||x+2|-|x+a||≤|（x+2）-（x+a）|=|2-a|=|a-2|（当且仅当（x+2）（x+a）≥0取“=”）
∴|a-2|≤a，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a≤2}\\{-（a-2）≤a}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a-2≤a}\end{array}}\right.$，
解得：a≥1．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查求函数的最大值，是一道中档题．