Question

2．已知函数f（x）=|x-3|．
（Ⅰ）若不等式f（x）-f（x+5）≥|m-1|有解，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜3，且a≠0，证明：$\frac{{f（{ab}）}}{|a|}$＞f（${\frac{b}{a}}$）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据绝对值不等式的意义得到|m-1|≤5，求出m的范围即可；（Ⅱ）问题转化为证明（ab-3）²＞（b-3a）²，通过作差证明即可．

解答 解：（Ⅰ）因为f（x）-f（x+5）=|x-3|-|x+2|≤|（x-3）-（x+2）|=5，
当且仅当x≤-2时等号成立，
所以|m-1|≤5，解得-4≤m≤6；…（5分）
（Ⅱ）证明：要证$\frac{{f（{ab}）}}{|a|}＞f（{\frac{b}{a}}）$，
即证$\frac{|ab-3|}{|a|}＞|{\frac{b}{a}-3}|$，
只需证|ab-3|＞|b-3a|，
即证（ab-3）²＞（b-3a）²，
又（ab-3）²-（b-3a）²=a²b²-9a²-b²+9=（a²-1）（b²-9），|a|＜1，|b|＜3，
所以（a²-1）（b²-9）＞0，
所以（ab-3）²＞（b-3a）²，
故原不等式成立…（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的证明，是一道中档题．