Question

13．定义函数max{f（x），g（x）}=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≥g（x）}\\{g（x），f（x）＜g（x）}\end{array}\right.$，则max{sinx，cosx}的最小值为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意求出函数h（x）=max{sinx，cosx}的解析式，利用三角函数的图象与性质确定函数h（x）的最值，从而求出结果．

解答 解：根据题意知，函数max{f（x），g（x）}=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≥g（x）}\\{g（x），f（x）＜g（x）}\end{array}\right.$，
则h（x）=max{sinx，cosx}=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，x∈[2kπ+\frac{π}{4}，2kπ+\frac{5π}{4}]}\\{cosx，x∈（2kπ-\frac{3π}{4}，2kπ+\frac{π}{4}），k∈Z}\end{array}\right.$，
且h（x+2π）=max{sin（x+2π），cos（x+2π）}=max{sinx，cosx}=h（x），
所以2π是函数h（x）的一个周期；
又h（x）≥h（$\frac{5π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以函数h（x）的最小值为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查了新定义的函数应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．