Question

1．已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，
且f（x+2）≥0的解集为[-3，3]．
（1）求m的值；
（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=m，求证：p²+q²+r²≥3．

Answer 1

分析 （1）根据f（x+2）的解析式得出f（x+2）的单调性和奇偶性，根据解集得出f（5）=0，故而可求出m；
（2）利用柯西不等式即可得出结论．

解答 解：（1）f（x+2）=m-|x|=$\left\{\begin{array}{l}{m+x，x≤0}\\{m-x，x＞0}\end{array}\right.$，
∴f（x+2）在（-∞，0]上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
又f（x+2）是偶函数，f（x+2）≥0的解集是[-3，3]，
∴m-3=0，即m=3．
（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，
∴由柯西不等式得，（p²+q²+r²）（1²+1²+1²）≥（p×1+q×1+r×1）²=（p+q+r）²=3²=9，
∴p²+q²+r²≥3．

点评 本题考查了函数的单调性与不等式的解法，柯西不等式的应用，属于中档题．