Question

已知函数.
(Ⅰ)求在处的切线方程；
(Ⅱ)求的单调区间；
（Ⅲ）若，求证：.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）当，的单调增区间；当时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是；（Ⅲ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）求出导数及切点，利用直线的点斜式方程即可得切线方程.
（Ⅱ）将求导，利用求得其递增区间，求得其递减区间.
在本题中，，由得：.当, 的单调增区间；
当时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是.
（Ⅲ）本题首先要考虑的是，所要证的不等式与函数有什么关系？待证不等式可做如下变形： ，最后这个不等式与有联系吗？我们往下看.
,所以在上是增函数.
因为，所以
即从这儿可以看出，有点联系了.同理，
所以，
与待证不等式比较，只要问题就解决了，而这由重要不等式可证，从而问题得证.
试题解析：（Ⅰ），，所以切线为：即  3分
（Ⅱ），
，     4分
，,        5分
当，的单调增区间；     6分
当时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是.  8分
（Ⅲ）,所以在上是增函数, 上是减函数
因为，所以
即,同理.
所以
又因为当且仅当“”时，取等号.
又，,
所以,所以，
所以：.     14分