Question

已知函数，，．
（1）求函数的极值点；
（2）若在上为单调函数，求的取值范围；
（3）设，若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．

Answer 1

(1)为函数的极小值点；（2）的取值范围是；
（3）的取值范围是

试题分析：(1)因为.由得，
所以为函数的极小值点；
（2）.
在上为单调函数，则或在上恒成立.
等价于,所以.
等价于，所以.由此可得的取值范围.
（3）构造函数，
在上至少存在一个，使得成立，则只需在上的最大值大于0 即可.接下来就利用导数求在上的最大值.
当时，，所以在不存在使得成立.
当时，，因为，所以在恒成立，
故在单调递增，，
所以只需，解之即得的取值范围.
试题解析：(1)因为.由得，
所以为函数的极小值点              3分
（2），.
因为在上为单调函数，所以或在上恒成立                                                      5分
等价于
．                     7分
等价于即在恒成立，
而．
综上，的取值范围是．                         8分
（3）构造函数，
当时，，所以在不存在使得成立.
当时，              12分
因为，所以在恒成立，
故在单调递增，，
所以只需，解之得，
故的取值范围是                               14分