Question

已知函数．
（Ⅰ）若是上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）证明：当a≥1时，证明不等式≤x+1对x∈R恒成立；
（Ⅲ）对于在(0，1)中的任一个常数a，试探究是否存在x₀>0，使得>x₀+1成立？如果存在，请求出符合条件的一个x₀；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）a的取值范围为a≤0；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）可找到一个常数，使得>x₀+1成立．

试题分析：（I）时，，求导得．由题意，≥0在上恒成立.因为e^x>0恒成立，故只需≥0在上恒成立，结合抛物线的图象即可得a的取值范围；（Ⅱ）由题知f(x)≤x+1即为-≤x+1．由于含有，故分和两种情况讨论.①在x≥0时，要证明-≤x+1成立，可变为证1≤成立，这样只需利用导数求的最小值即可，求导得，易得≥0，从而g(x)≥g(0)=1.注：直接证也可，只是需要求两次导数．
②在x≤0时，要证-≤x+1成立，可变为证1≤成立，这样只需利用导数求的最小值即可.
（Ⅲ）要使f(x₀)>x₀+1成立，即.如果变为，那么求导后式子很复杂，故尝试作其它的变形.
变形为，要找一个x₀>0使该不等式成立，只需找到函数的最小值，满足即可．这利用导数就容易解决了.
试题解析：（I）∵时，，
∴．
由题意，≥0在上恒成立，
当a=0时，>0恒成立，即满足条件．
当a≠0时，要使≥0，而e^x>0恒成立，
故只需≥0在上恒成立，即
解得a<0．
综上，a的取值范围为a≤0．                  4分
（Ⅱ）由题知f(x)≤x+1即为-≤x+1．
①在x≥0时，要证明-≤x+1成立，
只需证≤，即证1≤，      ①
令，得，
整理得，
∵x≥0时，≤1，结合a≥1，得≥0，
∴为在上是增函数，故g(x)≥g(0)=1，从而①式得证．
②在x≤0时，要使-≤x+1成立，
只需证≤，即证1≤，       ②
令，得，
而在x≤0时为增函数，
故≤≤0，从而≤0，
∴m(x)在x≤0时为减函数，则m(x)≥m(0)=1，从而②式得证．
综上所述，原不等式-≤x+1即f(x)≤x+1在a≥1时恒成立． 10分
（Ⅲ）要使f(x₀)>x₀+1成立，即，
变形为， ③
要找一个x₀>0使③式成立，只需找到函数的最小值，满足即可．
∵，
令得，则x=-lna，取x₀=-lna，
在0<x<-lna时，，在x>-lna时，，
即t(x)在(0，-lna)上是减函数，在(-lna，+∞)上是增函数，
∴当x=-lna时，取得最小值
下面只需证明：在时成立即可．
又令，
则≥0，从而在(0，1)上是增函数，
则，从而，得证．
于是的最小值，
因此可找到一个常数，使得③式成立．      14分