Question

已知函数，，其中且．
(Ⅰ) 当，求函数的单调递增区间；
(Ⅱ)若时，函数有极值，求函数图象的对称中心的坐标；
（Ⅲ）设函数 （是自然对数的底数），是否存在a使在上为减函数，若存在，求实数a的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）单调增区间是；（2）对称中心坐标为；（3）符合条件的满足.

试题分析：本题综合考查函数与导数及运用导数求单调区间、极值等数学知识和方法，突出考查综合运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力.第一问，先将代入，得到的表达式，对其求导，令大于0，解不等式，得出增区间；第二问，由于当时函数有极值，所以是的根，代入得出的值，代入中得到具体解析式，可以看出的对称中心，而到图像是经过平移得到的，所以经过平移，得到对称中心坐标，假设存在，试试看能不能求出来，对求导，得到的两个根分别为1和，通过讨论两根的大小，出现3种情况在每一种情况下，讨论单调性，最后总结出符合题意的的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）当，，
设，即，
所以或，
单调增区间是.
（Ⅱ）当时，函数有极值，
所以，且，即，
所以，
所以的图像可由的图像向下平移16个单位长度得到，
而的图像关于对称，
所以函数的图像的对称中心坐标为.
（Ⅲ）假设存在使在上为减函数，
，
（1）当时，，在定义域上为增函数，不合题意；
（2）当时，由得：，在上为增函数，则在上也为增函数，也不合题意；
（3）当时，由得：，若，无解，则，
因为在上为减函数，则在上为减函数，在上为减函数，且，则.由，得.
综上所述，符合条件的满足.