Question

已知函数.
（Ⅰ）若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；
（Ⅱ）若，求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方.

Answer 1

（Ⅰ）极小值；（Ⅱ）参考解析

试题分析：（Ⅰ）首先考虑定义域.再把代入求导.令导函数可求得极值点.再通过函数的单调性即可知道函数的极值.
（Ⅱ）由.在区间上，函数的图像在函数的图像的下方，可转化为在区间上恒成立的问题.从而令函数F(x)=.通过求导即可求得F(x)函数的最大值.从而可得结论.
试题解析：（Ⅰ）解由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，      1分
当a＝－1时，f′(x)＝x－        2分
令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，     3分
当x∈(0,1)时，f′(x)<0， 因此函数f(x)在(0,1)上是单调递减的，     4分
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此函数f(x)在(1，＋∞)上是单调递增的，  5分
则x＝1是f(x)极小值点，
所以f(x)在x＝1处取得极小值为f(1)=            6分
（Ⅱ）证明     设F(x)＝f(x)－g(x)＝x²＋ln x－x³，
则F′(x)＝x＋－2x²＝，     9分
当x>1时，F′(x)<0，                         10分
故f(x)在区间[1，＋∞)上是单调递减的，           11分
又F(1)＝－<0，        12分
∴在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立．即f(x)—g(x)<0恒成立
即f(x)<g(x)恒成立.
因此，
当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)图像的下方．13分