Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

），且y=f（x）的最大值为2，其图象的相邻两对称轴的距离为4，并过点（1，2）．
（1）求φ的值；
（2）计算f（1）+f（2）+…f（2013）．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由y=f（x）的最大值为2，A＞0．得A=2．又由其图象相邻两对称轴间的距离为4，ω＞0，得ω=

π

4

．由y=f（x）过（1，2）点，可得φ的值；
（2）由f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）．得f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=2+

2

+0-

2

-2-

2

+0+

2

=0．
又由y=f（x）的周期为8，2013=8×251+7，可得f（1）+f（2）+…+f（2013）的值．

解答： 解：（1）∵y=f（x）的最大值为2，A＞0．
∴A=2．
又∵其图象相邻两对称轴间的距离为4，ω＞0，
∴

1

2

×

2π

ω

=4．
∴ω=

π

4

．
∴f（x）=2sin（

π

4

x+φ）．
∵y=f（x）过（1，2）点，
∴2=2sin（

π

4

+φ）．
∴

π

4

+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z
∴φ=2Kπ+

π

4

，k∈Z
又∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

4

．
（2）∵f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）．
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=2+

2

+0-

2

-2-

2

+0+

2

=0．
又∵y=f（x）的周期为8，2013=8×251+7，
∴f（1）+f（2）+…+f（2013）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=2+

2

+0-

2

-2-

2

+0=-

2

．

点评：本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，通过题目条件，正确求出函数的表达式，挖掘条件，利用周期正确解答是解好三角函数题目的关键，本题考查计算能力，属于基本知识的考查．