Question

设f（x）是定义在R上的函数，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e^xf（x）＞e^x+1的解集为（　　）

• A、（0，+∞）
• B、（-∞，0）
• C、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• D、（-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：本题构造新函数g（x）=e^xf（x）-e^x，利用条件f（x）+f’（x）＞1，得到g′（x）＞0，得到函数g（x）单调递增，再利用f（0）=2，得到函数g（x）过定点（0，1），解不等式e^xf（x）＞e^x+1，即研究g（x）＞1，结合函数的图象，得到x的取值范围，即本题结论．

解答： 解：令g（x）=e^xf（x）-e^x，
则g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x，
∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，
∴g′（x）=e^x[f（x）+f′（x）-1]＞0，
∴函数y=g（x）在R上单调递增．
∵f（0）=2，
∴g（0）=1．
∴当x＜0时，g（x）＜1；
当x＞0时，g（x）＞1．
∵e^xf（x）＞e^x+1，
∴e^xf（x）-e^x＞1，
即g（x）＞1，
∴x＞0．
故选A．

点评：本题考查了函数的导数与单调性，还考查了构造法思想，本题有一定的难度，计算量适中，属于中档题．