Question

18．如图1，2，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E在线段AB上，过点E作交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置（点A与P重合），使得∠PEB=60°．

（1）求证：EF⊥PB；
（2）试问：当点E在何处时，四棱锥P-EFCB的侧面的面积最大？并求此时四棱锥P-EFCB的体积及直线PC与平面EFCB所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）推导出EF⊥AB，EF⊥BE，EF⊥PE，由此能证明EF⊥PB．　
（2）设BE=x，PE=y，则x+y=4，当且仅当x=y=2时，S_△PEB的面积最大，此时，BE=PE=2．EF⊥平面PBE，从而平面EFCB⊥平面PBE．作PO⊥BE于O，则PO为四棱锥P-EFCB的高，∠PCO就是PC与平面EFCB所成角．由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵EF∥BC且BC⊥AB，
∴EF⊥AB，即EF⊥BE，EF⊥PE．又BE∩PE=E，
∴EF⊥平面PBE，又PB?平面PBE，
∴EF⊥PB．　（4分）
解：（2）设BE=x，PE=y，则x+y=4．
∴${S_{△PEB}}=\frac{1}{2}BE•PE•sin∠PEB=\frac{{\sqrt{3}}}{4}xy≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（\frac{x+y}{2}）^2}=\sqrt{3}$．
当且仅当x=y=2时，S_△PEB的面积最大，此时，BE=PE=2．
由（1）知EF⊥平面PBE，
∵EF?平面EFCB，∴平面EFCB⊥平面PBE．
在平面PBE中，作PO⊥BE于O，则PO⊥平面EFCB．
即PO为四棱锥P-EFCB的高．
又$PO=PE•sin{60^0}=2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}，{S_{EFCB}}=\frac{1}{2}×（2+4）×2=6$．
∴${V_{P-BCFE}}=\frac{1}{3}×6×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$（8分）
∵$OE=PE•cos{60^0}=2×\frac{1}{2}=1$，
∴BO=1，在Rt△OBC中，$OC=\sqrt{B{O^2}+B{C^2}}=\sqrt{1+{4^2}}=\sqrt{17}$．
∵PO⊥平面EFCB，∴∠PCO就是PC与平面EFCB所成角．
∴$tan∠PCO=\frac{PO}{OC}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{17}}}=\frac{{\sqrt{51}}}{17}$，
故直线PC与平面EFCB所成角的正切值为$\frac{{\sqrt{51}}}{17}$（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积及线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．