Question

9．已知函数$f（x）=\frac{lnx+a}{x}（a∈$R）．
（1）若曲线在点（1，f（1））处的切线与直线x-y-1=0平行，求a的值；
（2）在（1）条件下，求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）当a=1，且x≥1时，证明：f（x）≤1．

Answer 1

分析 （1）利用导数求出x=1处的切线方程；
（2）当a=0时，利用导数判断出f（x）的单调增区间与单调减区间，从而求出极值；
（3）只需证明lnx+1≤x．构造新函数令$h（x）=x-lnx-1，则h'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$．
因为x≥1，所以h'（x）≥0，故h（x）在[1，+∞）上单调递增．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，
所以$f'（x）=\frac{1-lnx-a}{x^2}$．又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y-1=0平行，
所以f'（1）=1-a=1，即a=0．
（2）令f'（x）=0，得x=e，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，e）	e	（e，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	单调递增	极大值	单调递减

由表可知：f（x）的单调递增区间是（0，e），单调递减区间是（e，+∞）
所以f（x）在x=e处取得极大值，$f{（x）_{极大值}}=f（{e^{\;}}）=\frac{lne}{e}$．
证明：（3）当$a=1时，f（x）=\frac{lnx+1}{x}$．由于$x∈[{1，+∞}），要证f（x）=\frac{lnx+1}{x}≤1$，
只需证明lnx+1≤x．令$h（x）=x-lnx-1，则h'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$．
因为x≥1，所以h'（x）≥0，故h（x）在[1，+∞）上单调递增，
当x≥1时，h（x）≥h（1）=0，即lnx+1≤x成立．
故当x≥1时，有$\frac{lnx+1}{x}≤1，即f（x）≤1$．

点评 本题主要考查了导数求切线方程、单调区间与函数极值、构造函数，属基础题．