Question

8．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E为棱AB的中点．
（1）求BC₁与D₁E所成角的余弦值；
（2）在棱CC₁是否存在一点N使得EN⊥DB₁，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（（-2，0，2），$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（（2，1，0），利用BC₁与D₁E所成角的余弦值=|cos＜$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，$\overrightarrow{{D}_{1}E}$＞|，可得结论；
（2）设N（0，2，z），则$\overrightarrow{EN}$=（-2，-1，z），$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（2，2，2），利用向量的数量积公式，可得结论．

解答 解：（1）如图所示，建立坐标系，B（2，2，0），C₁（0，2，2），D₁（0，0，0），E（2，1，0），
则$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（（-2，0，2），$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（（2，1，0），
∴BC₁与D₁E所成角的余弦值=|cos＜$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，$\overrightarrow{{D}_{1}E}$＞|=|$\frac{-4}{\sqrt{8}•\sqrt{5}}$|$\frac{\sqrt{10}}{5}$；
（2）设N（0，2，z），则$\overrightarrow{EN}$=（-2，-1，z），$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（2，2，2），
∵EN⊥DB₁，
∴-4-2+2z=0，∴z=3＞2，
∴棱CC₁不存在一点N使得EN⊥DB₁．

点评 本题考查棱柱的结构特征，考查向量知识的运用，正确求出向量的坐标是关键．