Question

6．已知f（x），g（x），都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），设a，b分别为连续两次抛掷同一枚骰子所得点数，若f（x）-a^xg（x）=0，$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$≥$\frac{10}{3}$，则关于x的方程abx²+8x+1=0有两个不同实根的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{5}{12}$
• C． $\frac{7}{18}$
• D． $\frac{13}{36}$

Answer 1

分析 先求出a的取值，结合关于x的方程abx²+8x+1=0有两个不同实根，确定a，b 的可能情况，再结合基本事件总数，即可求出概率．

解答 解：∵f（x）-a^xg（x）=0，
∴f（x）=a^xg（x）（a＞0，a≠1），
∴a^x=$\frac{f（x）}{g（x）}$．
∵f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0，
∴（a^x）′=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$＞0，
∴函数y=a^x单调递增，
∴a＞1．
∵$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$≥$\frac{10}{3}$．
∴a+a^-1≥$\frac{10}{3}$，a＞1．
解得a≥3．
∴a=3，4，5，6，
∵关于x的方程abx²+8x+1=0有两个不同实根，
∴△=64-4ab＞0，
∴ab＜16，
a=3时，b=1，2，3，4，5；a=4时，b=1，2，3；a=5时，b=1，2，3；a=6时，b=1，2；共13种情况
又a，b的取值有6×6=36种情况．
∴所求概率为$\frac{13}{36}$．
故选：D．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查概率知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．